3.57 \(\int \frac{d+e x+f x^2+g x^3+h x^4+j x^5+k x^6+l x^7+m x^8}{(a+b x^2+c x^4)^3} \, dx\)

Optimal. Leaf size=1150 \[ \text{result too large to display} \]

[Out]

-(b*c*(c*e + a*j) - a*b^2*l - 2*a*c*(c*g - a*l) + (2*c^3*e - c^2*(b*g + 2*a*j) - b^3*l + b*c*(b*j + 3*a*l))*x^
2)/(4*c^2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)^2) - (x*(a*b*c*(c*f + a*k) - b^2*(c^2*d + a^2*m) + 2*a*c*(c^2*d -
a*c*h + a^2*m) + (a*b^2*c*k + 2*a*c^2*(c*f - a*k) - a*b^3*m - b*c*(c^2*d + a*c*h - 3*a^2*m))*x^2))/(4*a*c^2*(b
^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)^2) + ((b^3*j)/c + 2*b*(3*c*e + a*j) - 16*a^2*l - (b^4*l)/c^2 - b^2*(3*g - (5*a
*l)/c) + 2*(6*c^2*e - 3*b*c*g + b^2*j + 2*a*c*j - 3*a*b*l)*x^2)/(4*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x^2 + c*x^4)) + (x*(
4*a^2*b*c^2*(2*c*f + a*k) + a*b^3*c*(c*f + 2*a*k) - a*b^2*c*(25*c^2*d + 7*a*c*h - 11*a^2*m) + 4*a^2*c^2*(7*c^2
*d + a*c*h - 9*a^2*m) + b^4*(3*c^2*d - 2*a^2*m) + c*(a*b^2*c*(c*f + 3*a*k) + 4*a^2*c^2*(5*c*f + 3*a*k) + b^3*(
3*c^2*d + a^2*m) - 4*a*b*c*(6*c^2*d + 3*a*c*h + 4*a^2*m))*x^2))/(8*a^2*c^2*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x^2 + c*x^4)
) + ((a*b^2*c*(c*f + 3*a*k) + 4*a^2*c^2*(5*c*f + 3*a*k) + b^3*(3*c^2*d + a^2*m) - 4*a*b*c*(6*c^2*d + 3*a*c*h +
4*a^2*m) + (a*b^3*c*(c*f - 3*a*k) - 4*a^2*b*c^2*(13*c*f + 9*a*k) - 6*a*b^2*c*(5*c^2*d - 3*a*c*h - 3*a^2*m) +
b^4*(3*c^2*d - a^2*m) + 8*a^2*c^2*(21*c^2*d + 3*a*c*h + 5*a^2*m))/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*ArcTan[(Sqrt[2]*Sqrt[c]*x
)/Sqrt[b - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]])/(8*Sqrt[2]*a^2*c^(3/2)*(b^2 - 4*a*c)^2*Sqrt[b - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]) + ((a*b^2*
c*(c*f + 3*a*k) + 4*a^2*c^2*(5*c*f + 3*a*k) + b^3*(3*c^2*d + a^2*m) - 4*a*b*c*(6*c^2*d + 3*a*c*h + 4*a^2*m) -
(a*b^3*c*(c*f - 3*a*k) - 4*a^2*b*c^2*(13*c*f + 9*a*k) - 6*a*b^2*c*(5*c^2*d - 3*a*c*h - 3*a^2*m) + b^4*(3*c^2*d
- a^2*m) + 8*a^2*c^2*(21*c^2*d + 3*a*c*h + 5*a^2*m))/Sqrt[b^2 - 4*a*c])*ArcTan[(Sqrt[2]*Sqrt[c]*x)/Sqrt[b + S
qrt[b^2 - 4*a*c]]])/(8*Sqrt[2]*a^2*c^(3/2)*(b^2 - 4*a*c)^2*Sqrt[b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]) - ((6*c^2*e - 3*b*c*g
+ b^2*j + 2*a*c*j - 3*a*b*l)*ArcTanh[(b + 2*c*x^2)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]])/(b^2 - 4*a*c)^(5/2)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 8.16355, antiderivative size = 1144, normalized size of antiderivative = 0.99, number of steps used = 11, number of rules used = 9, integrand size = 55, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.164, Rules used = {1673, 1678, 1166, 205, 1663, 1660, 638, 618, 206} \[ \frac{-\frac{l b^4}{c^2}+\frac{j b^3}{c}-\left (3 g-\frac{5 a l}{c}\right ) b^2+2 (3 c e+a j) b+2 \left (j b^2-3 c g b-3 a l b+6 c^2 e+2 a c j\right ) x^2-16 a^2 l}{4 \left (b^2-4 a c\right )^2 \left (c x^4+b x^2+a\right )}+\frac{\left (\left (\frac{m a^2}{c}+3 c d\right ) b^3+a (c f+3 a k) b^2-4 a \left (4 m a^2+3 c h a+6 c^2 d\right ) b+4 a^2 c (5 c f+3 a k)+\frac{\left (3 c^2 d-a^2 m\right ) b^4+a c (c f-3 a k) b^3-6 a c \left (-3 m a^2-3 c h a+5 c^2 d\right ) b^2-4 a^2 c^2 (13 c f+9 a k) b+8 a^2 c^2 \left (5 m a^2+3 c h a+21 c^2 d\right )}{c \sqrt{b^2-4 a c}}\right ) \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{2} \sqrt{c} x}{\sqrt{b-\sqrt{b^2-4 a c}}}\right )}{8 \sqrt{2} a^2 \sqrt{c} \left (b^2-4 a c\right )^2 \sqrt{b-\sqrt{b^2-4 a c}}}+\frac{\left (\left (\frac{m a^2}{c}+3 c d\right ) b^3+a (c f+3 a k) b^2-4 a \left (4 m a^2+3 c h a+6 c^2 d\right ) b+4 a^2 c (5 c f+3 a k)-\frac{\left (3 c^2 d-a^2 m\right ) b^4+a c (c f-3 a k) b^3-6 a c \left (-3 m a^2-3 c h a+5 c^2 d\right ) b^2-4 a^2 c^2 (13 c f+9 a k) b+8 a^2 c^2 \left (5 m a^2+3 c h a+21 c^2 d\right )}{c \sqrt{b^2-4 a c}}\right ) \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{2} \sqrt{c} x}{\sqrt{b+\sqrt{b^2-4 a c}}}\right )}{8 \sqrt{2} a^2 \sqrt{c} \left (b^2-4 a c\right )^2 \sqrt{b+\sqrt{b^2-4 a c}}}-\frac{\left (j b^2-3 c g b-3 a l b+6 c^2 e+2 a c j\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac{2 c x^2+b}{\sqrt{b^2-4 a c}}\right )}{\left (b^2-4 a c\right )^{5/2}}+\frac{x \left (\left (3 c d-\frac{2 a^2 m}{c}\right ) b^4+a (c f+2 a k) b^3-a \left (-11 m a^2+7 c h a+25 c^2 d\right ) b^2+4 a^2 c (2 c f+a k) b+\left (\left (m a^2+3 c^2 d\right ) b^3+a c (c f+3 a k) b^2-4 a c \left (4 m a^2+3 c h a+6 c^2 d\right ) b+4 a^2 c^2 (5 c f+3 a k)\right ) x^2+4 a^2 c \left (-9 m a^2+c h a+7 c^2 d\right )\right )}{8 a^2 c \left (b^2-4 a c\right )^2 \left (c x^4+b x^2+a\right )}-\frac{-a l b^2+c (c e+a j) b+\left (-l b^3+c (b j+3 a l) b+2 c^3 e-c^2 (b g+2 a j)\right ) x^2-2 a c (c g-a l)}{4 c^2 \left (b^2-4 a c\right ) \left (c x^4+b x^2+a\right )^2}-\frac{x \left (-\left (m a^2+c^2 d\right ) b^2+a c (c f+a k) b+\left (-a m b^3+a c k b^2-c \left (-3 m a^2+c h a+c^2 d\right ) b+2 a c^2 (c f-a k)\right ) x^2+2 a c \left (m a^2-c h a+c^2 d\right )\right )}{4 a c^2 \left (b^2-4 a c\right ) \left (c x^4+b x^2+a\right )^2} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(d + e*x + f*x^2 + g*x^3 + h*x^4 + j*x^5 + k*x^6 + l*x^7 + m*x^8)/(a + b*x^2 + c*x^4)^3,x]

[Out]

-(b*c*(c*e + a*j) - a*b^2*l - 2*a*c*(c*g - a*l) + (2*c^3*e - c^2*(b*g + 2*a*j) - b^3*l + b*c*(b*j + 3*a*l))*x^
2)/(4*c^2*(b^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)^2) - (x*(a*b*c*(c*f + a*k) - b^2*(c^2*d + a^2*m) + 2*a*c*(c^2*d -
a*c*h + a^2*m) + (a*b^2*c*k + 2*a*c^2*(c*f - a*k) - a*b^3*m - b*c*(c^2*d + a*c*h - 3*a^2*m))*x^2))/(4*a*c^2*(b
^2 - 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)^2) + ((b^3*j)/c + 2*b*(3*c*e + a*j) - 16*a^2*l - (b^4*l)/c^2 - b^2*(3*g - (5*a
*l)/c) + 2*(6*c^2*e - 3*b*c*g + b^2*j + 2*a*c*j - 3*a*b*l)*x^2)/(4*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x^2 + c*x^4)) + (x*(
4*a^2*b*c*(2*c*f + a*k) + a*b^3*(c*f + 2*a*k) - a*b^2*(25*c^2*d + 7*a*c*h - 11*a^2*m) + 4*a^2*c*(7*c^2*d + a*c
*h - 9*a^2*m) + b^4*(3*c*d - (2*a^2*m)/c) + (a*b^2*c*(c*f + 3*a*k) + 4*a^2*c^2*(5*c*f + 3*a*k) + b^3*(3*c^2*d
+ a^2*m) - 4*a*b*c*(6*c^2*d + 3*a*c*h + 4*a^2*m))*x^2))/(8*a^2*c*(b^2 - 4*a*c)^2*(a + b*x^2 + c*x^4)) + ((a*b^
2*(c*f + 3*a*k) + 4*a^2*c*(5*c*f + 3*a*k) - 4*a*b*(6*c^2*d + 3*a*c*h + 4*a^2*m) + b^3*(3*c*d + (a^2*m)/c) + (a
*b^3*c*(c*f - 3*a*k) - 4*a^2*b*c^2*(13*c*f + 9*a*k) - 6*a*b^2*c*(5*c^2*d - 3*a*c*h - 3*a^2*m) + b^4*(3*c^2*d -
a^2*m) + 8*a^2*c^2*(21*c^2*d + 3*a*c*h + 5*a^2*m))/(c*Sqrt[b^2 - 4*a*c]))*ArcTan[(Sqrt[2]*Sqrt[c]*x)/Sqrt[b -
Sqrt[b^2 - 4*a*c]]])/(8*Sqrt[2]*a^2*Sqrt[c]*(b^2 - 4*a*c)^2*Sqrt[b - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]) + ((a*b^2*(c*f + 3*a
*k) + 4*a^2*c*(5*c*f + 3*a*k) - 4*a*b*(6*c^2*d + 3*a*c*h + 4*a^2*m) + b^3*(3*c*d + (a^2*m)/c) - (a*b^3*c*(c*f
- 3*a*k) - 4*a^2*b*c^2*(13*c*f + 9*a*k) - 6*a*b^2*c*(5*c^2*d - 3*a*c*h - 3*a^2*m) + b^4*(3*c^2*d - a^2*m) + 8*
a^2*c^2*(21*c^2*d + 3*a*c*h + 5*a^2*m))/(c*Sqrt[b^2 - 4*a*c]))*ArcTan[(Sqrt[2]*Sqrt[c]*x)/Sqrt[b + Sqrt[b^2 -
4*a*c]]])/(8*Sqrt[2]*a^2*Sqrt[c]*(b^2 - 4*a*c)^2*Sqrt[b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]) - ((6*c^2*e - 3*b*c*g + b^2*j +
2*a*c*j - 3*a*b*l)*ArcTanh[(b + 2*c*x^2)/Sqrt[b^2 - 4*a*c]])/(b^2 - 4*a*c)^(5/2)

Rule 1673

Int[(Pq_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Module[{q = Expon[Pq, x], k}, Int[Sum[Coeff[
Pq, x, 2*k]*x^(2*k), {k, 0, q/2}]*(a + b*x^2 + c*x^4)^p, x] + Int[x*Sum[Coeff[Pq, x, 2*k + 1]*x^(2*k), {k, 0,
(q - 1)/2}]*(a + b*x^2 + c*x^4)^p, x]] /; FreeQ[{a, b, c, p}, x] && PolyQ[Pq, x] &&  !PolyQ[Pq, x^2]

Rule 1678

Int[(Pq_)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> With[{d = Coeff[PolynomialRemainder[Pq, a +
b*x^2 + c*x^4, x], x, 0], e = Coeff[PolynomialRemainder[Pq, a + b*x^2 + c*x^4, x], x, 2]}, Simp[(x*(a + b*x^2
+ c*x^4)^(p + 1)*(a*b*e - d*(b^2 - 2*a*c) - c*(b*d - 2*a*e)*x^2))/(2*a*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c)), x] + Dist[1/(2*
a*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c)), Int[(a + b*x^2 + c*x^4)^(p + 1)*ExpandToSum[2*a*(p + 1)*(b^2 - 4*a*c)*PolynomialQuot
ient[Pq, a + b*x^2 + c*x^4, x] + b^2*d*(2*p + 3) - 2*a*c*d*(4*p + 5) - a*b*e + c*(4*p + 7)*(b*d - 2*a*e)*x^2,
x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && PolyQ[Pq, x^2] && Expon[Pq, x^2] > 1 && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && LtQ[p, -1
]

Rule 1166

Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)/((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> With[{q = Rt[b^2 - 4*a*c, 2]}, Di
st[e/2 + (2*c*d - b*e)/(2*q), Int[1/(b/2 - q/2 + c*x^2), x], x] + Dist[e/2 - (2*c*d - b*e)/(2*q), Int[1/(b/2 +
q/2 + c*x^2), x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2 - a*e^2, 0] && PosQ[b^
2 - 4*a*c]

Rule 205

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[a/b, 2]*ArcTan[x/Rt[a/b, 2]])/a, x] /; FreeQ[{a, b}, x]
&& PosQ[a/b]

Rule 1663

Int[(Pq_)*(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2 + (c_.)*(x_)^4)^(p_), x_Symbol] :> Dist[1/2, Subst[Int[x^((m - 1)/2)
*SubstFor[x^2, Pq, x]*(a + b*x + c*x^2)^p, x], x, x^2], x] /; FreeQ[{a, b, c, p}, x] && PolyQ[Pq, x^2] && Inte
gerQ[(m - 1)/2]

Rule 1660

Int[(Pq_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{Q = PolynomialQuotient[Pq, a + b*x + c*
x^2, x], f = Coeff[PolynomialRemainder[Pq, a + b*x + c*x^2, x], x, 0], g = Coeff[PolynomialRemainder[Pq, a + b
*x + c*x^2, x], x, 1]}, Simp[((b*f - 2*a*g + (2*c*f - b*g)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(p + 1))/((p + 1)*(b^2 - 4*a*c
)), x] + Dist[1/((p + 1)*(b^2 - 4*a*c)), Int[(a + b*x + c*x^2)^(p + 1)*ExpandToSum[(p + 1)*(b^2 - 4*a*c)*Q - (
2*p + 3)*(2*c*f - b*g), x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && PolyQ[Pq, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && LtQ[p, -1
]

Rule 638

Int[((d_.) + (e_.)*(x_))*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> Simp[((b*d - 2*a*e + (2*c*d -
b*e)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(p + 1))/((p + 1)*(b^2 - 4*a*c)), x] - Dist[((2*p + 3)*(2*c*d - b*e))/((p + 1)*(b^2
- 4*a*c)), Int[(a + b*x + c*x^2)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && NeQ[2*c*d - b*e, 0] && NeQ[b^
2 - 4*a*c, 0] && LtQ[p, -1] && NeQ[p, -3/2]

Rule 618

Int[((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Dist[-2, Subst[Int[1/Simp[b^2 - 4*a*c - x^2, x], x]
, x, b + 2*c*x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0]

Rule 206

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1*ArcTanh[(Rt[-b, 2]*x)/Rt[a, 2]])/(Rt[a, 2]*Rt[-b, 2]), x]
/; FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || LtQ[b, 0])

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{d+e x+f x^2+g x^3+h x^4+j x^5+k x^6+l x^7+m x^8}{\left (a+b x^2+c x^4\right )^3} \, dx &=\int \frac{x \left (e+g x^2+j x^4+l x^6\right )}{\left (a+b x^2+c x^4\right )^3} \, dx+\int \frac{d+f x^2+h x^4+k x^6+m x^8}{\left (a+b x^2+c x^4\right )^3} \, dx\\ &=-\frac{x \left (a b c (c f+a k)-b^2 \left (c^2 d+a^2 m\right )+2 a c \left (c^2 d-a c h+a^2 m\right )+\left (a b^2 c k+2 a c^2 (c f-a k)-a b^3 m-b c \left (c^2 d+a c h-3 a^2 m\right )\right ) x^2\right )}{4 a c^2 \left (b^2-4 a c\right ) \left (a+b x^2+c x^4\right )^2}+\frac{1}{2} \operatorname{Subst}\left (\int \frac{e+g x+j x^2+l x^3}{\left (a+b x+c x^2\right )^3} \, dx,x,x^2\right )-\frac{\int \frac{-\frac{a b c (c f+a k)+b^2 \left (3 c^2 d-a^2 m\right )-2 a c \left (7 c^2 d+a c h-a^2 m\right )}{c^2}+\frac{\left (a b^2 c k+2 a c^2 (5 c f+3 a k)-a b^3 m-b c \left (5 c^2 d+5 a c h+a^2 m\right )\right ) x^2}{c^2}+4 a \left (4 a-\frac{b^2}{c}\right ) m x^4}{\left (a+b x^2+c x^4\right )^2} \, dx}{4 a \left (b^2-4 a c\right )}\\ &=-\frac{b c (c e+a j)-a b^2 l-2 a c (c g-a l)+\left (2 c^3 e-c^2 (b g+2 a j)-b^3 l+b c (b j+3 a l)\right ) x^2}{4 c^2 \left (b^2-4 a c\right ) \left (a+b x^2+c x^4\right )^2}-\frac{x \left (a b c (c f+a k)-b^2 \left (c^2 d+a^2 m\right )+2 a c \left (c^2 d-a c h+a^2 m\right )+\left (a b^2 c k+2 a c^2 (c f-a k)-a b^3 m-b c \left (c^2 d+a c h-3 a^2 m\right )\right ) x^2\right )}{4 a c^2 \left (b^2-4 a c\right ) \left (a+b x^2+c x^4\right )^2}+\frac{x \left (4 a^2 b c (2 c f+a k)+a b^3 (c f+2 a k)-a b^2 \left (25 c^2 d+7 a c h-11 a^2 m\right )+4 a^2 c \left (7 c^2 d+a c h-9 a^2 m\right )+b^4 \left (3 c d-\frac{2 a^2 m}{c}\right )+\left (a b^2 c (c f+3 a k)+4 a^2 c^2 (5 c f+3 a k)+b^3 \left (3 c^2 d+a^2 m\right )-4 a b c \left (6 c^2 d+3 a c h+4 a^2 m\right )\right ) x^2\right )}{8 a^2 c \left (b^2-4 a c\right )^2 \left (a+b x^2+c x^4\right )}+\frac{\int \frac{3 b^4 d+a b^3 f-4 a^2 b (4 c f+3 a k)+4 a^2 \left (21 c^2 d+3 a c h+5 a^2 m\right )-a b^2 \left (27 c d-3 a h-\frac{a^2 m}{c}\right )+\frac{\left (a b^2 c (c f+3 a k)+4 a^2 c^2 (5 c f+3 a k)+b^3 \left (3 c^2 d+a^2 m\right )-4 a b c \left (6 c^2 d+3 a c h+4 a^2 m\right )\right ) x^2}{c}}{a+b x^2+c x^4} \, dx}{8 a^2 \left (b^2-4 a c\right )^2}-\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{6 c e-3 b g+2 a j-\frac{b^3 l}{c^2}+\frac{b (b j+a l)}{c}+2 \left (4 a-\frac{b^2}{c}\right ) l x}{\left (a+b x+c x^2\right )^2} \, dx,x,x^2\right )}{4 \left (b^2-4 a c\right )}\\ &=-\frac{b c (c e+a j)-a b^2 l-2 a c (c g-a l)+\left (2 c^3 e-c^2 (b g+2 a j)-b^3 l+b c (b j+3 a l)\right ) x^2}{4 c^2 \left (b^2-4 a c\right ) \left (a+b x^2+c x^4\right )^2}-\frac{x \left (a b c (c f+a k)-b^2 \left (c^2 d+a^2 m\right )+2 a c \left (c^2 d-a c h+a^2 m\right )+\left (a b^2 c k+2 a c^2 (c f-a k)-a b^3 m-b c \left (c^2 d+a c h-3 a^2 m\right )\right ) x^2\right )}{4 a c^2 \left (b^2-4 a c\right ) \left (a+b x^2+c x^4\right )^2}+\frac{\frac{b^3 j}{c}+2 b (3 c e+a j)-16 a^2 l-\frac{b^4 l}{c^2}-b^2 \left (3 g-\frac{5 a l}{c}\right )+2 \left (6 c^2 e-3 b c g+b^2 j+2 a c j-3 a b l\right ) x^2}{4 \left (b^2-4 a c\right )^2 \left (a+b x^2+c x^4\right )}+\frac{x \left (4 a^2 b c (2 c f+a k)+a b^3 (c f+2 a k)-a b^2 \left (25 c^2 d+7 a c h-11 a^2 m\right )+4 a^2 c \left (7 c^2 d+a c h-9 a^2 m\right )+b^4 \left (3 c d-\frac{2 a^2 m}{c}\right )+\left (a b^2 c (c f+3 a k)+4 a^2 c^2 (5 c f+3 a k)+b^3 \left (3 c^2 d+a^2 m\right )-4 a b c \left (6 c^2 d+3 a c h+4 a^2 m\right )\right ) x^2\right )}{8 a^2 c \left (b^2-4 a c\right )^2 \left (a+b x^2+c x^4\right )}+\frac{\left (6 c^2 e-3 b c g+b^2 j+2 a c j-3 a b l\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{a+b x+c x^2} \, dx,x,x^2\right )}{2 \left (b^2-4 a c\right )^2}+\frac{\left (a b^2 (c f+3 a k)+4 a^2 c (5 c f+3 a k)-4 a b \left (6 c^2 d+3 a c h+4 a^2 m\right )+b^3 \left (3 c d+\frac{a^2 m}{c}\right )-\frac{a b^3 c (c f-3 a k)-4 a^2 b c^2 (13 c f+9 a k)-6 a b^2 c \left (5 c^2 d-3 a c h-3 a^2 m\right )+b^4 \left (3 c^2 d-a^2 m\right )+8 a^2 c^2 \left (21 c^2 d+3 a c h+5 a^2 m\right )}{c \sqrt{b^2-4 a c}}\right ) \int \frac{1}{\frac{b}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{b^2-4 a c}+c x^2} \, dx}{16 a^2 \left (b^2-4 a c\right )^2}+\frac{\left (a b^2 (c f+3 a k)+4 a^2 c (5 c f+3 a k)-4 a b \left (6 c^2 d+3 a c h+4 a^2 m\right )+b^3 \left (3 c d+\frac{a^2 m}{c}\right )+\frac{a b^3 c (c f-3 a k)-4 a^2 b c^2 (13 c f+9 a k)-6 a b^2 c \left (5 c^2 d-3 a c h-3 a^2 m\right )+b^4 \left (3 c^2 d-a^2 m\right )+8 a^2 c^2 \left (21 c^2 d+3 a c h+5 a^2 m\right )}{c \sqrt{b^2-4 a c}}\right ) \int \frac{1}{\frac{b}{2}-\frac{1}{2} \sqrt{b^2-4 a c}+c x^2} \, dx}{16 a^2 \left (b^2-4 a c\right )^2}\\ &=-\frac{b c (c e+a j)-a b^2 l-2 a c (c g-a l)+\left (2 c^3 e-c^2 (b g+2 a j)-b^3 l+b c (b j+3 a l)\right ) x^2}{4 c^2 \left (b^2-4 a c\right ) \left (a+b x^2+c x^4\right )^2}-\frac{x \left (a b c (c f+a k)-b^2 \left (c^2 d+a^2 m\right )+2 a c \left (c^2 d-a c h+a^2 m\right )+\left (a b^2 c k+2 a c^2 (c f-a k)-a b^3 m-b c \left (c^2 d+a c h-3 a^2 m\right )\right ) x^2\right )}{4 a c^2 \left (b^2-4 a c\right ) \left (a+b x^2+c x^4\right )^2}+\frac{\frac{b^3 j}{c}+2 b (3 c e+a j)-16 a^2 l-\frac{b^4 l}{c^2}-b^2 \left (3 g-\frac{5 a l}{c}\right )+2 \left (6 c^2 e-3 b c g+b^2 j+2 a c j-3 a b l\right ) x^2}{4 \left (b^2-4 a c\right )^2 \left (a+b x^2+c x^4\right )}+\frac{x \left (4 a^2 b c (2 c f+a k)+a b^3 (c f+2 a k)-a b^2 \left (25 c^2 d+7 a c h-11 a^2 m\right )+4 a^2 c \left (7 c^2 d+a c h-9 a^2 m\right )+b^4 \left (3 c d-\frac{2 a^2 m}{c}\right )+\left (a b^2 c (c f+3 a k)+4 a^2 c^2 (5 c f+3 a k)+b^3 \left (3 c^2 d+a^2 m\right )-4 a b c \left (6 c^2 d+3 a c h+4 a^2 m\right )\right ) x^2\right )}{8 a^2 c \left (b^2-4 a c\right )^2 \left (a+b x^2+c x^4\right )}+\frac{\left (a b^2 (c f+3 a k)+4 a^2 c (5 c f+3 a k)-4 a b \left (6 c^2 d+3 a c h+4 a^2 m\right )+b^3 \left (3 c d+\frac{a^2 m}{c}\right )+\frac{a b^3 c (c f-3 a k)-4 a^2 b c^2 (13 c f+9 a k)-6 a b^2 c \left (5 c^2 d-3 a c h-3 a^2 m\right )+b^4 \left (3 c^2 d-a^2 m\right )+8 a^2 c^2 \left (21 c^2 d+3 a c h+5 a^2 m\right )}{c \sqrt{b^2-4 a c}}\right ) \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{2} \sqrt{c} x}{\sqrt{b-\sqrt{b^2-4 a c}}}\right )}{8 \sqrt{2} a^2 \sqrt{c} \left (b^2-4 a c\right )^2 \sqrt{b-\sqrt{b^2-4 a c}}}+\frac{\left (a b^2 (c f+3 a k)+4 a^2 c (5 c f+3 a k)-4 a b \left (6 c^2 d+3 a c h+4 a^2 m\right )+b^3 \left (3 c d+\frac{a^2 m}{c}\right )-\frac{a b^3 c (c f-3 a k)-4 a^2 b c^2 (13 c f+9 a k)-6 a b^2 c \left (5 c^2 d-3 a c h-3 a^2 m\right )+b^4 \left (3 c^2 d-a^2 m\right )+8 a^2 c^2 \left (21 c^2 d+3 a c h+5 a^2 m\right )}{c \sqrt{b^2-4 a c}}\right ) \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{2} \sqrt{c} x}{\sqrt{b+\sqrt{b^2-4 a c}}}\right )}{8 \sqrt{2} a^2 \sqrt{c} \left (b^2-4 a c\right )^2 \sqrt{b+\sqrt{b^2-4 a c}}}-\frac{\left (6 c^2 e-3 b c g+b^2 j+2 a c j-3 a b l\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{b^2-4 a c-x^2} \, dx,x,b+2 c x^2\right )}{\left (b^2-4 a c\right )^2}\\ &=-\frac{b c (c e+a j)-a b^2 l-2 a c (c g-a l)+\left (2 c^3 e-c^2 (b g+2 a j)-b^3 l+b c (b j+3 a l)\right ) x^2}{4 c^2 \left (b^2-4 a c\right ) \left (a+b x^2+c x^4\right )^2}-\frac{x \left (a b c (c f+a k)-b^2 \left (c^2 d+a^2 m\right )+2 a c \left (c^2 d-a c h+a^2 m\right )+\left (a b^2 c k+2 a c^2 (c f-a k)-a b^3 m-b c \left (c^2 d+a c h-3 a^2 m\right )\right ) x^2\right )}{4 a c^2 \left (b^2-4 a c\right ) \left (a+b x^2+c x^4\right )^2}+\frac{\frac{b^3 j}{c}+2 b (3 c e+a j)-16 a^2 l-\frac{b^4 l}{c^2}-b^2 \left (3 g-\frac{5 a l}{c}\right )+2 \left (6 c^2 e-3 b c g+b^2 j+2 a c j-3 a b l\right ) x^2}{4 \left (b^2-4 a c\right )^2 \left (a+b x^2+c x^4\right )}+\frac{x \left (4 a^2 b c (2 c f+a k)+a b^3 (c f+2 a k)-a b^2 \left (25 c^2 d+7 a c h-11 a^2 m\right )+4 a^2 c \left (7 c^2 d+a c h-9 a^2 m\right )+b^4 \left (3 c d-\frac{2 a^2 m}{c}\right )+\left (a b^2 c (c f+3 a k)+4 a^2 c^2 (5 c f+3 a k)+b^3 \left (3 c^2 d+a^2 m\right )-4 a b c \left (6 c^2 d+3 a c h+4 a^2 m\right )\right ) x^2\right )}{8 a^2 c \left (b^2-4 a c\right )^2 \left (a+b x^2+c x^4\right )}+\frac{\left (a b^2 (c f+3 a k)+4 a^2 c (5 c f+3 a k)-4 a b \left (6 c^2 d+3 a c h+4 a^2 m\right )+b^3 \left (3 c d+\frac{a^2 m}{c}\right )+\frac{a b^3 c (c f-3 a k)-4 a^2 b c^2 (13 c f+9 a k)-6 a b^2 c \left (5 c^2 d-3 a c h-3 a^2 m\right )+b^4 \left (3 c^2 d-a^2 m\right )+8 a^2 c^2 \left (21 c^2 d+3 a c h+5 a^2 m\right )}{c \sqrt{b^2-4 a c}}\right ) \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{2} \sqrt{c} x}{\sqrt{b-\sqrt{b^2-4 a c}}}\right )}{8 \sqrt{2} a^2 \sqrt{c} \left (b^2-4 a c\right )^2 \sqrt{b-\sqrt{b^2-4 a c}}}+\frac{\left (a b^2 (c f+3 a k)+4 a^2 c (5 c f+3 a k)-4 a b \left (6 c^2 d+3 a c h+4 a^2 m\right )+b^3 \left (3 c d+\frac{a^2 m}{c}\right )-\frac{a b^3 c (c f-3 a k)-4 a^2 b c^2 (13 c f+9 a k)-6 a b^2 c \left (5 c^2 d-3 a c h-3 a^2 m\right )+b^4 \left (3 c^2 d-a^2 m\right )+8 a^2 c^2 \left (21 c^2 d+3 a c h+5 a^2 m\right )}{c \sqrt{b^2-4 a c}}\right ) \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{2} \sqrt{c} x}{\sqrt{b+\sqrt{b^2-4 a c}}}\right )}{8 \sqrt{2} a^2 \sqrt{c} \left (b^2-4 a c\right )^2 \sqrt{b+\sqrt{b^2-4 a c}}}-\frac{\left (6 c^2 e-3 b c g+b^2 j+2 a c j-3 a b l\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac{b+2 c x^2}{\sqrt{b^2-4 a c}}\right )}{\left (b^2-4 a c\right )^{5/2}}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 7.84911, size = 1590, normalized size = 1.38 \[ \frac{2 c l a^3+2 c m x a^3-2 c^2 k x^3 a^2+3 b c m x^3 a^2-2 c^2 j x^2 a^2+3 b c l x^2 a^2-2 c^2 g a^2+b c j a^2-b^2 l a^2-2 c^2 h x a^2+b c k x a^2-b^2 m x a^2+2 c^3 f x^3 a-b c^2 h x^3 a+b^2 c k x^3 a-b^3 m x^3 a+2 c^3 e x^2 a-b c^2 g x^2 a+b^2 c j x^2 a-b^3 l x^2 a+b c^2 e a+2 c^3 d x a+b c^2 f x a-b c^3 d x^3-b^2 c^2 d x}{4 a c^2 \left (4 a c-b^2\right ) \left (c x^4+b x^2+a\right )^2}+\frac{\left (40 c^2 m a^4+24 c^3 h a^3-36 b c^2 k a^3+12 c^2 \sqrt{b^2-4 a c} k a^3+18 b^2 c m a^3-16 b c \sqrt{b^2-4 a c} m a^3+168 c^4 d a^2-52 b c^3 f a^2+20 c^3 \sqrt{b^2-4 a c} f a^2+18 b^2 c^2 h a^2-12 b c^2 \sqrt{b^2-4 a c} h a^2-3 b^3 c k a^2+3 b^2 c \sqrt{b^2-4 a c} k a^2-b^4 m a^2+b^3 \sqrt{b^2-4 a c} m a^2-30 b^2 c^3 d a-24 b c^3 \sqrt{b^2-4 a c} d a+b^3 c^2 f a+b^2 c^2 \sqrt{b^2-4 a c} f a+3 b^4 c^2 d+3 b^3 c^2 \sqrt{b^2-4 a c} d\right ) \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{2} \sqrt{c} x}{\sqrt{b-\sqrt{b^2-4 a c}}}\right )}{8 \sqrt{2} a^2 c^{3/2} \left (b^2-4 a c\right )^{5/2} \sqrt{b-\sqrt{b^2-4 a c}}}+\frac{\left (-40 c^2 m a^4-24 c^3 h a^3+36 b c^2 k a^3+12 c^2 \sqrt{b^2-4 a c} k a^3-18 b^2 c m a^3-16 b c \sqrt{b^2-4 a c} m a^3-168 c^4 d a^2+52 b c^3 f a^2+20 c^3 \sqrt{b^2-4 a c} f a^2-18 b^2 c^2 h a^2-12 b c^2 \sqrt{b^2-4 a c} h a^2+3 b^3 c k a^2+3 b^2 c \sqrt{b^2-4 a c} k a^2+b^4 m a^2+b^3 \sqrt{b^2-4 a c} m a^2+30 b^2 c^3 d a-24 b c^3 \sqrt{b^2-4 a c} d a-b^3 c^2 f a+b^2 c^2 \sqrt{b^2-4 a c} f a-3 b^4 c^2 d+3 b^3 c^2 \sqrt{b^2-4 a c} d\right ) \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{2} \sqrt{c} x}{\sqrt{b+\sqrt{b^2-4 a c}}}\right )}{8 \sqrt{2} a^2 c^{3/2} \left (b^2-4 a c\right )^{5/2} \sqrt{b+\sqrt{b^2-4 a c}}}+\frac{\left (j b^2-3 c g b-3 a l b+6 c^2 e+2 a c j\right ) \log \left (-2 c x^2-b+\sqrt{b^2-4 a c}\right )}{2 \left (b^2-4 a c\right )^{5/2}}+\frac{\left (-j b^2+3 c g b+3 a l b-6 c^2 e-2 a c j\right ) \log \left (2 c x^2+b+\sqrt{b^2-4 a c}\right )}{2 \left (b^2-4 a c\right )^{5/2}}+\frac{-32 c^2 l a^4-36 c^2 m x a^4+12 c^3 k x^3 a^3-16 b c^2 m x^3 a^3+8 c^3 j x^2 a^3-12 b c^2 l x^2 a^3+4 b c^2 j a^3+10 b^2 c l a^3+4 c^3 h x a^3+4 b c^2 k x a^3+11 b^2 c m x a^3+20 c^4 f x^3 a^2-12 b c^3 h x^3 a^2+3 b^2 c^2 k x^3 a^2+b^3 c m x^3 a^2+24 c^4 e x^2 a^2-12 b c^3 g x^2 a^2+4 b^2 c^2 j x^2 a^2+12 b c^3 e a^2-6 b^2 c^2 g a^2+2 b^3 c j a^2-2 b^4 l a^2+28 c^4 d x a^2+8 b c^3 f x a^2-7 b^2 c^2 h x a^2+2 b^3 c k x a^2-2 b^4 m x a^2-24 b c^4 d x^3 a+b^2 c^3 f x^3 a-25 b^2 c^3 d x a+b^3 c^2 f x a+3 b^3 c^3 d x^3+3 b^4 c^2 d x}{8 a^2 c^2 \left (4 a c-b^2\right )^2 \left (c x^4+b x^2+a\right )} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[(d + e*x + f*x^2 + g*x^3 + h*x^4 + j*x^5 + k*x^6 + l*x^7 + m*x^8)/(a + b*x^2 + c*x^4)^3,x]

[Out]

(a*b*c^2*e - 2*a^2*c^2*g + a^2*b*c*j - a^2*b^2*l + 2*a^3*c*l - b^2*c^2*d*x + 2*a*c^3*d*x + a*b*c^2*f*x - 2*a^2
*c^2*h*x + a^2*b*c*k*x - a^2*b^2*m*x + 2*a^3*c*m*x + 2*a*c^3*e*x^2 - a*b*c^2*g*x^2 + a*b^2*c*j*x^2 - 2*a^2*c^2
*j*x^2 - a*b^3*l*x^2 + 3*a^2*b*c*l*x^2 - b*c^3*d*x^3 + 2*a*c^3*f*x^3 - a*b*c^2*h*x^3 + a*b^2*c*k*x^3 - 2*a^2*c
^2*k*x^3 - a*b^3*m*x^3 + 3*a^2*b*c*m*x^3)/(4*a*c^2*(-b^2 + 4*a*c)*(a + b*x^2 + c*x^4)^2) + (12*a^2*b*c^3*e - 6
*a^2*b^2*c^2*g + 2*a^2*b^3*c*j + 4*a^3*b*c^2*j - 2*a^2*b^4*l + 10*a^3*b^2*c*l - 32*a^4*c^2*l + 3*b^4*c^2*d*x -
25*a*b^2*c^3*d*x + 28*a^2*c^4*d*x + a*b^3*c^2*f*x + 8*a^2*b*c^3*f*x - 7*a^2*b^2*c^2*h*x + 4*a^3*c^3*h*x + 2*a
^2*b^3*c*k*x + 4*a^3*b*c^2*k*x - 2*a^2*b^4*m*x + 11*a^3*b^2*c*m*x - 36*a^4*c^2*m*x + 24*a^2*c^4*e*x^2 - 12*a^2
*b*c^3*g*x^2 + 4*a^2*b^2*c^2*j*x^2 + 8*a^3*c^3*j*x^2 - 12*a^3*b*c^2*l*x^2 + 3*b^3*c^3*d*x^3 - 24*a*b*c^4*d*x^3
+ a*b^2*c^3*f*x^3 + 20*a^2*c^4*f*x^3 - 12*a^2*b*c^3*h*x^3 + 3*a^2*b^2*c^2*k*x^3 + 12*a^3*c^3*k*x^3 + a^2*b^3*
c*m*x^3 - 16*a^3*b*c^2*m*x^3)/(8*a^2*c^2*(-b^2 + 4*a*c)^2*(a + b*x^2 + c*x^4)) + ((3*b^4*c^2*d - 30*a*b^2*c^3*
d + 168*a^2*c^4*d + 3*b^3*c^2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*d - 24*a*b*c^3*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*d + a*b^3*c^2*f - 52*a^2*b*c^
3*f + a*b^2*c^2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*f + 20*a^2*c^3*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*f + 18*a^2*b^2*c^2*h + 24*a^3*c^3*h - 12*a^
2*b*c^2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*h - 3*a^2*b^3*c*k - 36*a^3*b*c^2*k + 3*a^2*b^2*c*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*k + 12*a^3*c^2*Sq
rt[b^2 - 4*a*c]*k - a^2*b^4*m + 18*a^3*b^2*c*m + 40*a^4*c^2*m + a^2*b^3*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*m - 16*a^3*b*c*Sqrt[
b^2 - 4*a*c]*m)*ArcTan[(Sqrt[2]*Sqrt[c]*x)/Sqrt[b - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]])/(8*Sqrt[2]*a^2*c^(3/2)*(b^2 - 4*a*c)^
(5/2)*Sqrt[b - Sqrt[b^2 - 4*a*c]]) + ((-3*b^4*c^2*d + 30*a*b^2*c^3*d - 168*a^2*c^4*d + 3*b^3*c^2*Sqrt[b^2 - 4*
a*c]*d - 24*a*b*c^3*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*d - a*b^3*c^2*f + 52*a^2*b*c^3*f + a*b^2*c^2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*f + 20*a^
2*c^3*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*f - 18*a^2*b^2*c^2*h - 24*a^3*c^3*h - 12*a^2*b*c^2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*h + 3*a^2*b^3*c*k
+ 36*a^3*b*c^2*k + 3*a^2*b^2*c*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*k + 12*a^3*c^2*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*k + a^2*b^4*m - 18*a^3*b^2*
c*m - 40*a^4*c^2*m + a^2*b^3*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*m - 16*a^3*b*c*Sqrt[b^2 - 4*a*c]*m)*ArcTan[(Sqrt[2]*Sqrt[c]*x)/
Sqrt[b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]])/(8*Sqrt[2]*a^2*c^(3/2)*(b^2 - 4*a*c)^(5/2)*Sqrt[b + Sqrt[b^2 - 4*a*c]]) + ((6*c^
2*e - 3*b*c*g + b^2*j + 2*a*c*j - 3*a*b*l)*Log[-b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] - 2*c*x^2])/(2*(b^2 - 4*a*c)^(5/2)) + ((
-6*c^2*e + 3*b*c*g - b^2*j - 2*a*c*j + 3*a*b*l)*Log[b + Sqrt[b^2 - 4*a*c] + 2*c*x^2])/(2*(b^2 - 4*a*c)^(5/2))

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.086, size = 6026, normalized size = 5.2 \begin{align*} \text{output too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((m*x^8+l*x^7+k*x^6+j*x^5+h*x^4+g*x^3+f*x^2+e*x+d)/(c*x^4+b*x^2+a)^3,x)

[Out]

result too large to display

________________________________________________________________________________________

Maxima [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((m*x^8+l*x^7+k*x^6+j*x^5+h*x^4+g*x^3+f*x^2+e*x+d)/(c*x^4+b*x^2+a)^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Fricas [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((m*x^8+l*x^7+k*x^6+j*x^5+h*x^4+g*x^3+f*x^2+e*x+d)/(c*x^4+b*x^2+a)^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((m*x**8+l*x**7+k*x**6+j*x**5+h*x**4+g*x**3+f*x**2+e*x+d)/(c*x**4+b*x**2+a)**3,x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F(-2)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Exception raised: NotImplementedError} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((m*x^8+l*x^7+k*x^6+j*x^5+h*x^4+g*x^3+f*x^2+e*x+d)/(c*x^4+b*x^2+a)^3,x, algorithm="giac")

[Out]

Exception raised: NotImplementedError